Physique de la mécanique des fluides

Vagues en eau profonde

Une solution particulière de l'équation de Laplace qui décrit le mouvement des vagues à la surface d'un lac ou de l'océan est

Dans ce cas, l'axe x est la direction de propagation et l'axe z est vertical; z = 0 décrit la surface libre de l'eau lorsqu'elle n'est pas perturbée et z = −D décrit la surface inférieure; ϕ ₀ est une constante arbitraire qui détermine l'amplitude du mouvement; et f est la fréquence des ondes et λ leur longueur d'onde. Si λ est supérieur à quelques centimètres, la tension superficielle est sans importance et la pression dans le liquide juste en dessous de sa surface libre est atmosphérique pour toutes les valeurs de x. On peut montrer que dans ces circonstances, le mouvement des vagues décrit par (161) n'est cohérent avec (157) que si la fréquence et la longueur d'onde sont liées par l'équation

et on peut en déduire une expression pour la vitesse des ondes, puisque V = fλ. Pour les eaux peu profondes (D << λ), on obtient la réponse déjà citée comme équation (138), mais pour les eaux profondes (D >> λ) la réponse est

Les vagues en eau profonde sont évidemment dispersives, et les surfeurs comptent sur ce fait. Une tempête au milieu de l'océan perturbe la surface d'une manière chaotique qui serait inutile pour le surf, mais lorsque les vagues composantes se dirigent vers le rivage, elles se séparent; ceux qui ont de longues longueurs d'onde se déplacent en avant de ceux qui ont de courtes longueurs d'onde parce qu'ils voyagent plus rapidement. En conséquence, les vagues semblent bien régulières au moment où elles arrivent.

Quiconque a observé les vagues derrière un navire en mouvement sait qu'elles sont confinées à une zone en forme de V de la surface de l'eau, avec le navire à son sommet. Les vagues sont particulièrement proéminentes sur les bras du V, mais elles peuvent également être discernées entre ces bras où les crêtes des vagues se courbent de la manière indiquée sur la figure 12. Il semble être largement admis que l'angle du V devient plus aigu à mesure que le bateau accélère, de la même manière que l'onde de choc conique accompagnant un projectile supersonique devient plus aiguë (voir figure 8). Ce n'est pas le cas; le caractère dispersif des ondes sur l' eau profonde est telle que le V présente un angle fixe de 2 sin ^-1 (^une / _trois) = 39 °. Thomson (Lord Kelvin) a été le premier à expliquer cela, et donc la zone en forme de V est maintenant connue sous le nom de coin Kelvin.

Une version de l'argument de Thomson est illustrée par le diagramme de la figure 13. Ici, S (la «source») représente la proue du navire qui se déplace de gauche à droite avec une vitesse uniforme U, et les lignes étiquetées C, C ′, C ″, Etc., représentent un ensemble de crêtes ondulées parallèles qui se déplacent également de gauche à droite. On peut montrer que S créera cet ensemble de crêtes si, mais seulement si, il monte en continu sur celui étiqueté C. (Il peut également être montré que, bien que les crêtes de l'ensemble continuent indéfiniment à gauche de C, il peut être aucun à droite de celui-ci.) La condition que S et C se déplacent ensemble indique qu'il existe une relation entre la longueur d'onde λ et l'inclinaison α exprimée par l'équation

Cette condition peut évidemment être satisfaite par de nombreux autres ensembles de crêtes en plus de celui représenté par des lignes pleines sur la figure - par exemple, par l'ensemble avec une longueur d'onde légèrement plus courte λ 'qui est représentée par des lignes discontinues. Lorsque l'on prend en considération tous les ensembles qui satisfont (164) et ont des longueurs d'onde intermédiaires entre λ et λ ′, il devient évident que sur la majeure partie de la zone derrière la source, ils interfèrent de manière destructive. Ils se renforcent cependant, près des intersections qui sont annelées sur la figure. Ces intersections se trouvent sur une ligne passant par S d'inclinaison β, où

Il en résulte que, bien que l'angle α peut avoir une valeur comprise entre 90 ° (ce qui correspond à λ = λ _max = 2πU ² / g) et zéro, β tan ne peut jamais dépasser ^une / ₂ Carré of√2 racine, et sin β ne peut jamais dépasser ¹ / _trois.

Les navires perdent de l'énergie par rapport aux vagues du coin Kelvin, et ils subissent une résistance supplémentaire à cause de cela. La résistance est particulièrement élevée lorsque le système de vagues créé par la proue, où l'eau est repoussée, renforce le système de vagues créé par «l'anti-source» à l'arrière, où l'eau se referme. Un tel renforcement est susceptible de se produire lorsque la longueur effective du bateau, L, est égale à (2n + 1) λ _max / 2 (avec n = 0, 1, 2, …) et donc lorsque le nombre de Froude, U / Racine carrée de√ (Lg), prend l'une des valeurs [Racine carrée de√ (2n + 1) π] ^-1. Cependant, une fois qu'un bateau a été accéléré au-delà de U = racine carrée de√ (Lg / π), les vagues de proue et de poupe ont tendance à s'annuler et la résistance résultant de la création de vagues diminue.

Les vagues sur les eaux profondes dont la longueur d'onde est de quelques centimètres ou moins sont généralement appelées ondulations. Dans de telles vagues, les différences de pression à travers la surface courbe de l'eau associées à la tension superficielle (voir l'équation [129]) ne sont pas négligeables, et l'expression appropriée pour leur vitesse de propagation est

La vitesse des ondes est donc importante pour les très courtes longueurs d'onde ainsi que pour les très longues. Pour l'eau à des températures normales, V a une valeur minimale d'environ 0,23 mètre par seconde où la longueur d'onde est d'environ 17 millimètres, et il s'ensuit (notez que l'équation [164] n'a pas de racine réelle pour α sauf si U dépasse V) qu'un objet en mouvement dans l'eau ne peut créer aucune ondulation, à moins que sa vitesse ne dépasse 0,23 mètre par seconde. Un vent se déplaçant sur la surface de l'eau ne crée pas non plus d'ondulations à moins que sa vitesse ne dépasse une certaine valeur critique, mais c'est un phénomène plus compliqué, et la vitesse critique en question est nettement plus élevée.