Kurt Gödel, Gödel a également orthographié Goedel, (né le 28 avril 1906, Brünn, Autriche-Hongrie [maintenant Brno, République tchèque] - décédé le 14 janvier 1978, Princeton, NJ, États-Unis), mathématicien, logicien et autrichien philosophe qui a obtenu ce qui pourrait être le résultat mathématique le plus important du 20e siècle: son célèbre théorème d'incomplétude, qui déclare que dans tout système mathématique axiomatique, il y a des propositions qui ne peuvent être prouvées ou réfutées sur la base des axiomes de ce système; ainsi, un tel système ne peut pas être à la fois complet et cohérent. Cette preuve a fait de Gödel l'un des plus grands logiciens depuis Aristote, et ses répercussions continuent d'être ressenties et débattues aujourd'hui.
fondements des mathématiques: Gödel
Le programme de Hilbert impliquait l'espoir que la notion syntaxique de la prouvabilité capturerait la notion sémantique de la vérité. Gödel
Jeunesse et carrière
Gödel a souffert de plusieurs périodes de mauvaise santé quand il était enfant, à la suite d'un accès à l'âge de 6 ans avec du rhumatisme articulaire aigu, ce qui lui faisait craindre d'avoir un problème cardiaque résiduel. Son souci permanent de sa santé peut avoir contribué à sa paranoïa éventuelle, qui comprenait le nettoyage obsessionnel de ses ustensiles de cuisine et l'inquiétude de la pureté de sa nourriture.
En tant qu'Autrichien germanophone, Gödel se retrouva soudainement vivant dans le pays nouvellement formé de la Tchécoslovaquie lorsque l'Empire austro-hongrois fut dissous à la fin de la Première Guerre mondiale en 1918. Six ans plus tard, cependant, il partit étudier en Autriche, à l'Université de Vienne, où il a obtenu son doctorat en mathématiques en 1929. Il a rejoint la faculté de l'Université de Vienne l'année suivante.
À cette époque, Vienne était l'un des centres intellectuels du monde. Il abritait le célèbre cercle de Vienne, un groupe de scientifiques, de mathématiciens et de philosophes qui approuvaient la vision naturaliste, fortement empiriste et antimétaphysique connue sous le nom de positivisme logique. Le conseiller de dissertation de Gödel, Hans Hahn, était l'un des leaders du Cercle de Vienne, et il a présenté son étudiant vedette au groupe. Cependant, les vues philosophiques de Gödel n'auraient pas pu être plus différentes de celles des positivistes. Il a souscrit au platonisme, au théisme et au dualisme corps-esprit. De plus, il était également quelque peu mentalement instable et sujet à la paranoïa - un problème qui a empiré avec l'âge. Ainsi, ses contacts avec les membres du Cercle de Vienne lui ont donné le sentiment que le XXe siècle était hostile à ses idées.
Théorèmes de Gödel
Dans sa thèse de doctorat, «Über die Vollständigkeit des Logikkalküls» («Sur l'exhaustivité du calcul de la logique»), publiée sous une forme légèrement raccourcie en 1930, Gödel a prouvé l'un des résultats logiques les plus importants du siècle - en fait, de tout le temps, à savoir le théorème de complétude, qui a établi que la logique classique du premier ordre, ou calcul des prédicats, est complète dans le sens où toutes les vérités logiques du premier ordre peuvent être prouvées dans des systèmes de preuve du premier ordre standard.
Ceci, cependant, n'était rien comparé à ce que Gödel a publié en 1931, à savoir le théorème d'incomplétude: «Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme» («On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems»). En gros, ce théorème a établi le résultat qu'il est impossible d'utiliser la méthode axiomatique pour construire une théorie mathématique, dans n'importe quelle branche des mathématiques, qui implique toutes les vérités dans cette branche des mathématiques. (En Angleterre, Alfred North Whitehead et Bertrand Russell avaient passé des années sur un tel programme, qu'ils ont publié sous le nom de Principia Mathematica en trois volumes en 1910, 1912 et 1913.) Par exemple, il est impossible de trouver une théorie mathématique axiomatique qui capture même toutes les vérités sur les nombres naturels (0, 1, 2, 3,
). C'était un résultat négatif extrêmement important, car avant 1931, de nombreux mathématiciens tentaient précisément de faire cela: construire des systèmes d'axiomes qui pourraient être utilisés pour prouver toutes les vérités mathématiques. En effet, plusieurs logiciens et mathématiciens bien connus (par exemple, Whitehead, Russell, Gottlob Frege, David Hilbert) ont consacré une partie importante de leur carrière à ce projet. Malheureusement pour eux, le théorème de Gödel a détruit tout ce programme de recherche axiomatique.
Célébrité internationale et déménagement aux États-Unis
Après la publication du théorème d'incomplétude, Gödel est devenu une figure intellectuelle de renommée internationale. Il a voyagé aux États-Unis à plusieurs reprises et a donné de nombreuses conférences à l'Université de Princeton dans le New Jersey, où il a rencontré Albert Einstein. Ce fut le début d'une amitié étroite qui durera jusqu'à la mort d'Einstein en 1955.
Mais c'est aussi durant cette période que la santé mentale de Gödel commence à se dégrader. Il a souffert de crises de dépression et, après le meurtre de Moritz Schlick, l'un des dirigeants du Cercle de Vienne, par un étudiant dérangé, Gödel a souffert d'une dépression nerveuse. Dans les années à venir, il en a souffert plusieurs autres.
Après que l'Allemagne nazie a annexé l'Autriche le 12 mars 1938, Gödel s'est retrouvé dans une situation plutôt délicate, en partie parce qu'il avait une longue histoire d'associations étroites avec divers membres juifs du cercle de Vienne (en effet, il avait été attaqué dans les rues de Vienne par des jeunes qui pensaient qu'il était juif) et en partie parce qu'il risquait soudain d'être enrôlé dans l'armée allemande. Le 20 septembre 1938, Gödel a épousé Adele Nimbursky (née Porkert) et, lorsque la Seconde Guerre mondiale a éclaté un an plus tard, il a fui l'Europe avec sa femme, prenant le chemin de fer transsibérien à travers l'Asie, traversant l'océan Pacifique, puis en prenant un autre train à travers les États-Unis jusqu'à Princeton, NJ, où, avec l'aide d'Einstein, il a pris un poste au Institute for Advanced Studies (IAS) nouvellement formé. Il a passé le reste de sa vie à travailler et à enseigner à l'IAS, dont il a pris sa retraite en 1976. Gödel est devenu citoyen américain en 1948. (Einstein a assisté à son audience parce que le comportement de Gödel était plutôt imprévisible et Einstein avait peur que Gödel ne sabote son propre cas.)
En 1940, quelques mois seulement après son arrivée à Princeton, Gödel a publié un autre article mathématique classique, «Cohérence de l'axiome du choix et de l'hypothèse de continuum généralisé avec les axiomes de la théorie des ensembles», qui a prouvé que l'axiome du choix et le continuum les hypothèses sont cohérentes avec les axiomes standard (tels que les axiomes de Zermelo-Fraenkel) de la théorie des ensembles. Cela a établi la moitié d'une conjecture de Gödel, à savoir que l'hypothèse du continuum ne pouvait pas être prouvée vraie ou fausse dans les théories d'ensemble standard. La preuve de Gödel a montré qu'il ne pouvait pas être prouvé faux dans ces théories. En 1963, le mathématicien américain Paul Cohen a démontré qu'il ne pouvait pas non plus être prouvé vrai dans ces théories, confirmant la conjecture de Gödel.
En 1949, Gödel a également apporté une contribution importante à la physique, montrant que la théorie de la relativité générale d'Einstein permet la possibilité d'un voyage dans le temps.
