János Bolyai, (né le 15 décembre 1802, Kolozsvár, Hongrie [maintenant Cluj, Roumanie] - décédé le 27 janvier 1860, Marosvásárhely, Hongrie [maintenant Târgu Mureş, Roumanie]), mathématicien hongrois et l'un des fondateurs de la géométrie non euclidienne - une géométrie différente de la géométrie euclidienne dans sa définition des lignes parallèles. La découverte d'une géométrie alternative cohérente qui pourrait correspondre à la structure de l'univers a aidé les mathématiciens libres à étudier des concepts abstraits indépendamment de tout lien possible avec le monde physique.
À l'âge de 13 ans, Bolyai avait maîtrisé le calcul et la mécanique analytique sous la tutelle de son père, le mathématicien Farkas Bolyai. Il est également devenu un violoniste accompli à un âge précoce et plus tard a été reconnu comme un superbe épéiste. Il a étudié au Royal Engineering College de Vienne (1818-1822) et a servi dans le corps de génie de l'armée (1822-1833).
La préoccupation de l'aîné Bolyai de prouver l'axiome parallèle d'Euclide a infecté son fils et, malgré les avertissements de son père, János a persisté dans sa propre recherche d'une solution. Au début des années 1820, il conclut qu'une preuve était probablement impossible et commença à développer une géométrie qui ne dépendait pas de l'axiome d'Euclide. En 1831, il publie «Appendice Scientiam Spatii Absolute Veram Exhibens» («Appendice expliquant la science absolument vraie de l'espace»), un système complet et cohérent de géométrie non euclidienne en annexe au livre de son père sur la géométrie, Tentamen Juventutem Studiosam in Elementa Matheseos Purae Introducendi (1832; «Une tentative d'initier les jeunes studieux aux éléments des mathématiques pures»).
Une copie de ce travail a été envoyée à Carl Friedrich Gauss en Allemagne, qui a répondu qu'il avait découvert les principaux résultats quelques années auparavant. Ce fut un coup dur pour Bolyai, même si Gauss n'avait aucune prétention à la priorité puisqu'il n'avait jamais publié ses conclusions. L'essai de Bolyai est passé inaperçu par d'autres mathématiciens. En 1848, il découvrit que Nikolay Ivanovich Lobachevsky avait publié un compte rendu de pratiquement la même géométrie en 1829.
Bien que Bolyai ait poursuivi ses études mathématiques, l'importance de son travail n'a pas été reconnue de son vivant. En plus de travailler sur sa géométrie non euclidienne, il a développé un concept géométrique de nombres complexes sous forme de paires ordonnées de nombres réels.
