Équation différentielle, énoncé mathématique contenant une ou plusieurs dérivées, c'est-à-dire des termes représentant les taux de variation de quantités variant continuellement. Les équations différentielles sont très courantes en science et en génie, ainsi que dans de nombreux autres domaines d'études quantitatives, car ce qui peut être directement observé et mesuré pour les systèmes en cours de changement, ce sont leurs taux de changement. La solution d'une équation différentielle est, en général, une équation exprimant la dépendance fonctionnelle d'une variable par rapport à une ou plusieurs autres; il contient généralement des termes constants qui ne sont pas présents dans l'équation différentielle d'origine. Une autre façon de dire cela est que la solution d'une équation différentielle produit une fonction qui peut être utilisée pour prédire le comportement du système d'origine, au moins dans certaines contraintes.
analyse: Newton et équations différentielles
l'application de l'analyse sont des équations différentielles, qui relient les taux de variation de diverses quantités à leurs valeurs actuelles,
Les équations différentielles sont classées en plusieurs grandes catégories, qui sont à leur tour divisées en plusieurs sous-catégories. Les catégories les plus importantes sont les équations différentielles ordinaires et les équations différentielles partielles. Lorsque la fonction impliquée dans l'équation ne dépend que d'une seule variable, ses dérivés sont des dérivés ordinaires et l'équation différentielle est classée comme une équation différentielle ordinaire. En revanche, si la fonction dépend de plusieurs variables indépendantes, de sorte que ses dérivées sont des dérivées partielles, l'équation différentielle est classée comme une équation différentielle partielle. Voici des exemples d'équations différentielles ordinaires:
Dans ceux-ci, y représente la fonction et t ou x est la variable indépendante. Les symboles k et m sont utilisés ici pour représenter des constantes spécifiques.
Quel que soit le type, une équation différentielle est dite du nième ordre si elle implique une dérivée du nième ordre mais aucune dérivée d'un ordre supérieur à celui-ci. L'équation est un exemple d'une équation différentielle partielle du deuxième ordre. Les théories des équations différentielles ordinaires et partielles sont nettement différentes, et pour cette raison, les deux catégories sont traitées séparément.
Au lieu d'une seule équation différentielle, l'objet d'étude peut être un système simultané de telles équations. La formulation des lois de la dynamique conduit fréquemment à de tels systèmes. Dans de nombreux cas, une seule équation différentielle du nième ordre est avantageusement remplaçable par un système de n équations simultanées, dont chacune est du premier ordre, de sorte que des techniques d'algèbre linéaire peuvent être appliquées.
Une équation différentielle ordinaire dans laquelle, par exemple, la fonction et la variable indépendante sont notées y et x est en fait un résumé implicite des caractéristiques essentielles de y en fonction de x. Ces caractéristiques seraient vraisemblablement plus accessibles à l'analyse si une formule explicite pour y pouvait être produite. Une telle formule, ou au moins une équation en x et y (n'impliquant aucun dérivé) qui est déductible de l'équation différentielle, est appelée une solution de l'équation différentielle. Le processus de déduction d'une solution de l'équation par les applications de l'algèbre et du calcul s'appelle résoudre ou intégrer l'équation. Il convient de noter, cependant, que les équations différentielles qui peuvent être résolues explicitement ne constituent qu'une petite minorité. Ainsi, la plupart des fonctions doivent être étudiées par des méthodes indirectes. Même son existence doit être prouvée lorsqu'il n'est pas possible de le produire pour inspection. Dans la pratique, des méthodes d'analyse numérique, impliquant des ordinateurs, sont utilisées pour obtenir des solutions approximatives utiles.
