Évariste Galois, (né le 25 octobre 1811, Bourg-la-Reine, près de Paris, France - décédé le 31 mai 1832, Paris), mathématicien français célèbre pour ses contributions à la partie de l'algèbre supérieure maintenant connue sous le nom de théorie des groupes. Sa théorie a fourni une solution à la question de longue date de déterminer quand une équation algébrique peut être résolue par des radicaux (une solution contenant des racines carrées, des racines cubiques, etc. mais pas de fonctions de trigonométrie ou d'autres fonctions non algébriques).
Galois était le fils de Nicolas-Gabriel Galois, un citoyen important de la banlieue parisienne de Bourg-la-Reine. En 1815, pendant le régime des Cent-Jours qui a suivi l'évasion de Napoléon d'Elbe, son père a été élu maire. Galois a fait ses études chez lui jusqu'en 1823, date à laquelle il est entré au Collège royal de Louis-le-Grand. Là, son éducation languissait aux mains d'enseignants médiocres et sans intérêt. Mais sa capacité mathématique s'est épanouie quand il a commencé à étudier les travaux de ses compatriotes Adrien-Marie Legendre sur la géométrie et Joseph-Louis Lagrange sur l'algèbre.
Sous la direction de Louis Richard, l'un de ses professeurs à Louis-le-Grand, la poursuite de l'étude de l'algèbre par Galois le conduit à se poser la question de la solution des équations algébriques. Les mathématiciens utilisaient depuis longtemps des formules explicites, impliquant uniquement des opérations rationnelles et des extractions de racines, pour la solution des équations jusqu'au degré quatre, mais elles avaient été vaincues par des équations du degré cinq et plus. En 1770, Lagrange franchit le pas nouveau mais décisif de traiter les racines d'une équation comme des objets à part entière et d'en étudier les permutations (un changement dans un arrangement ordonné). En 1799, le mathématicien italien Paolo Ruffini a tenté de prouver l'impossibilité de résoudre l'équation générale quintique par les radicaux. L'effort de Ruffini n'a pas été entièrement réussi, mais en 1824, le mathématicien norvégien Niels Abel a donné une preuve correcte.
Galois, stimulé par les idées de Lagrange et ignorant initialement le travail d'Abel, a commencé à rechercher les conditions nécessaires et suffisantes dans lesquelles une équation algébrique de tout degré peut être résolue par des radicaux. Sa méthode consistait à analyser les permutations «admissibles» des racines de l'équation. Sa découverte clé, brillante et hautement imaginative, était que la solvabilité par les radicaux n'est possible que si et seulement si le groupe d'automorphismes (fonctions qui transportent des éléments d'un ensemble vers d'autres éléments de l'ensemble tout en préservant les opérations algébriques) est résoluble, ce qui signifie essentiellement que le groupe peut être décomposé en simples constituants «d'ordre premier» qui ont toujours une structure facilement compréhensible. Le terme solvable est utilisé en raison de ce lien avec la solvabilité par les radicaux. Ainsi, Galois a perçu que la résolution d'équations du quintique et au-delà nécessitait un type de traitement complètement différent de celui requis pour les équations quadratiques, cubiques et quartiques. Bien que Galois ait utilisé le concept de groupe et d'autres concepts associés, tels que coset et sous-groupe, il n'a pas défini ces concepts et n'a pas construit une théorie formelle rigoureuse.
Alors qu'il était encore à Louis-le-Grand, Galois a publié un article mineur, mais sa vie a rapidement été dépassée par la déception et la tragédie. Un mémoire sur la solvabilité des équations algébriques qu'il avait soumises en 1829 à l'Académie française des sciences a été perdu par Augustin-Louis Cauchy. Il échoua en deux tentatives (1827 et 1829) pour accéder à l'École Polytechnique, la principale école de mathématiques françaises, sa deuxième tentative étant gâchée par une rencontre désastreuse avec un examinateur oral. Toujours en 1829, son père, après de violents affrontements avec des éléments conservateurs dans sa ville natale, s'est suicidé. La même année, Galois s'inscrit comme élève-enseignant dans la moins prestigieuse École Normale Supérieure et se tourne vers l'activisme politique. Pendant ce temps, il poursuivit ses recherches et, au printemps 1830, il fit publier trois courts articles. En même temps, il réécrit le papier qui avait été perdu et le présente à nouveau à l'Académie - mais pour une deuxième fois le manuscrit s'égare. Jean-Baptiste-Joseph Fourier l'a emporté chez lui mais est décédé quelques semaines plus tard, et le manuscrit n'a jamais été retrouvé.
La révolution de juillet 1830 envoya le dernier monarque bourbonien, Charles X, en exil. Mais les républicains ont été profondément déçus quand un autre roi, Louis-Philippe, est monté sur le trône - même s'il était le «Roi citoyen» et portait le drapeau tricolore de la Révolution française. Lorsque Galois a écrit un article vigoureux exprimant des opinions pro-républicaines, il a été rapidement expulsé de l'École Normale Supérieure. Par la suite, il a été arrêté deux fois pour activités républicaines; il a été acquitté la première fois mais a passé six mois en prison pour la deuxième inculpation. En 1831, il présente pour la troisième fois ses mémoires sur la théorie des équations à l'Académie. Cette fois, il a été retourné mais avec un rapport négatif. Les juges, qui comprenaient Siméon-Denis Poisson, ne comprenaient pas ce que Galois avait écrit et pensaient (à tort) qu'il contenait une erreur importante. Ils avaient été tout à fait incapables d'accepter les idées originales et les méthodes mathématiques révolutionnaires de Galois.
Les circonstances qui ont conduit à la mort de Galois dans un duel à Paris ne sont pas tout à fait claires, mais une récente étude suggère que c'est sur sa propre insistance que le duel a été organisé et combattu pour ressembler à une embuscade policière. En tout cas, anticipant sa mort la veille du duel, Galois a écrit à la hâte un dernier testament scientifique adressé à son ami Auguste Chevalier dans lequel il résumait son travail et incluait de nouveaux théorèmes et conjectures.
Les manuscrits de Galois, avec des annotations de Joseph Liouville, ont été publiés en 1846 dans le Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Mais ce n'est qu'en 1870, avec la publication du Traité des substitutions de Camille Jordan, que la théorie des groupes est devenue une partie intégrante des mathématiques.
