Logique modale, systèmes formels incorporant des modalités telles que nécessité, possibilité, impossibilité, contingence, implication stricte et certains autres concepts étroitement liés.
logique formelle: logique modale
Les vraies propositions peuvent être divisées en celles - comme «2 + 2 = 4» - qui sont vraies par nécessité logique (propositions nécessaires), et celles - comme
La façon la plus simple de construire une logique modale consiste à ajouter à un système logique non modal standard un nouvel opérateur primitif destiné à représenter l'une des modalités, à définir d'autres opérateurs modaux en fonction de celle-ci et à ajouter des axiomes ou des règles de transformation impliquant ces modaux les opérateurs. Par exemple, on peut ajouter le symbole L, qui signifie «Il faut que», au calcul propositionnel classique; ainsi, Lp est lu comme "Il faut que p." L'opérateur de possibilité M («il est possible que») puisse être défini en termes de L comme Mp = ¬L¬p (où ¬ signifie «non»). En plus des axiomes et des règles d'inférence de la logique propositionnelle classique, un tel système pourrait avoir deux axiomes et une règle d'inférence qui lui sont propres. Certains axiomes caractéristiques de la logique modale sont: Lp ⊃ p et L (p ⊃ q) ⊃ (Lp ⊃ Lq). La nouvelle règle d'inférence dans ce système est la règle de nécessité: si p est un théorème du système, alors Lp l'est aussi. Des systèmes plus solides de logique modale peuvent être obtenus en ajoutant des axiomes supplémentaires. Par exemple, certains ajoutent l'axiome Lp ⊃ LLp, tandis que d'autres ajoutent l'axiome Mp ⊃ LMp. Voir logique formelle: logique modale.
