Théorie des catégories
Abstraction en mathématiques
Une tendance récente dans le développement des mathématiques a été le processus graduel d'abstraction. Le mathématicien norvégien Niels Henrik Abel (1802-1829) a prouvé que les équations du cinquième degré ne peuvent pas, en général, être résolues par des radicaux. Le mathématicien français Évariste Galois (1811-1832), motivé en partie par les travaux d'Abel, a introduit certains groupes de permutations pour déterminer les conditions nécessaires pour qu'une équation polynomiale soit résoluble. Ces groupes concrets ont rapidement donné naissance à des groupes abstraits, qui ont été décrits de manière axiomatique. Ensuite, on a réalisé que pour étudier des groupes, il était nécessaire d'examiner la relation entre les différents groupes, en particulier les homomorphismes qui mappent un groupe dans un autre tout en préservant les opérations de groupe. Ainsi, les gens ont commencé à étudier ce qu'on appelle maintenant la catégorie concrète des groupes, dont les objets sont des groupes et dont les flèches sont des homomorphismes. Il n'a pas fallu longtemps pour que les catégories concrètes soient remplacées par des catégories abstraites, à nouveau décrites axiomatiquement.
La notion importante de catégorie a été introduite par Samuel Eilenberg et Saunders Mac Lane à la fin de la Seconde Guerre mondiale. Ces catégories modernes doivent être distinguées des catégories d'Aristote, qui sont mieux appelées types dans le contexte actuel. Une catégorie comporte non seulement des objets, mais également des flèches (également appelées morphismes, transformations ou mappages) entre eux.
De nombreuses catégories ont comme objets des ensembles dotés d'une structure et de flèches qui préservent cette structure. Ainsi, il existe les catégories d'ensembles (à structure vide) et de mappages, de groupes et d'homomorphismes de groupe, d'anneaux et d'homomorphismes d'anneaux, d'espaces vectoriels et de transformations linéaires, d'espaces topologiques et de mappages continus, etc. Il existe même, à un niveau encore plus abstrait, la catégorie des (petites) catégories et des foncteurs, comme les morphismes entre catégories sont appelés, qui préservent les relations entre les objets et les flèches.
Toutes les catégories ne peuvent pas être vues de cette manière concrète. Par exemple, les formules d'un système déductif peuvent être vues comme des objets d'une catégorie dont les flèches f: A → B sont des déductions de B de A. En fait, ce point de vue est important en informatique théorique, où les formules sont pensées comme types et déductions comme opérations.
Plus formellement, une catégorie comprend (1) une collection d'objets A, B, C,…, (2) pour chaque paire d'objets ordonnés de la collection, une collection associée de transformations incluant l'identité I A ∶ A → A, et (3) une loi de composition associée pour chaque triplet ordonné d'objets de la catégorie telle que pour f ∶ A → B et g ∶ B → C la composition gf (ou g ○ f) est une transformation de A en C, c'est-à-dire gf ∶ A → C. De plus, la loi associative et les identités doivent être respectées (où les compositions sont définies) -ie, h (gf) = (hg) et f 1 B f = f = f1 A.
En un sens, les objets d'une catégorie abstraite n'ont pas de fenêtres, comme les monades de Leibniz. Pour déduire l'intérieur d'un objet A, il suffit de regarder toutes les flèches des autres objets vers A. Par exemple, dans la catégorie des ensembles, les éléments d'un ensemble A peuvent être représentés par des flèches d'un ensemble à un élément typique dans A. de même, dans la catégorie des petites catégories, si 1 est la catégorie avec un objet et aucune flèche de nonidentity, les objets d'une catégorie a peuvent être identifiés par les foncteurs 1 → a. De plus, si 2 est la catégorie avec deux objets et une flèche nonidentity, les flèches de A peuvent être identifiés par les foncteurs 2 → A.
Structures isomorphes
Une flèche f: A → B est appelé un isomorphisme s'il y a une flèche g: B → A l' inverse de f qui est, tel que g = 1 ○ f A et f ○ g = 1 B. Ceci est écrit A ≅ B, et A et B sont appelés isomorphes, ce qui signifie qu'ils ont essentiellement la même structure et qu'il n'est pas nécessaire de les distinguer. Dans la mesure où les entités mathématiques sont des objets de catégories, elles ne sont abandonnées qu'à l'isomorphisme. Leurs constructions traditionnelles de la théorie des ensembles, en plus de servir un but utile pour montrer la cohérence, sont vraiment hors de propos.
Par exemple, dans la construction habituelle de l'anneau d'entiers, un entier est défini comme une classe d'équivalence de paires (m, n) de nombres naturels, où (m, n) est équivalent à (m ′, n ′) si et seulement si m + n ′ = m ′ + n. L'idée est que la classe d'équivalence de (m, n) doit être considérée comme m - n. Ce qui est important pour un catégoriste, cependant, c'est que l'anneau ℤ d'entiers est un objet initial dans la catégorie des anneaux et des homomorphismes - c'est-à-dire que pour chaque anneau ℝ il y a un homomorphisme unique ℤ → ℝ. Vu de cette façon, ℤ n'est abandonné qu'à l'isomorphisme. Dans le même esprit, il faut dire non pas que ℤ est contenu dans le champ ℚ des nombres rationnels mais seulement que l'homomorphisme ℤ → ℚ est biunivoque. De même, cela n'a aucun sens de parler de l'intersection théorique des ensembles de π et de la racine carrée de√-1, si les deux sont exprimés comme des ensembles d'ensembles (à l'infini).
Les fondateurs adjoints (F, G) présentent un intérêt particulier pour les fondations et ailleurs. Ce sont des paires de foncteurs entre deux catégories ? et ℬ, qui vont dans des directions opposées de sorte qu'une correspondance biunivoque existe entre l'ensemble des flèches F (A) → B dans in et l'ensemble des flèches A → G (B) dans ?, c'est-à-dire que les ensembles sont isomorphes.
