Hypothèse du continuum, énoncé de la théorie des ensembles selon laquelle l'ensemble des nombres réels (le continuum) est dans un sens aussi petit qu'il peut l'être. En 1873, le mathématicien allemand Georg Cantor a prouvé que le continuum est indénombrable - c'est-à-dire que les nombres réels sont une infinité plus grande que les nombres de comptage - un résultat clé pour commencer la théorie des ensembles comme sujet mathématique. De plus, Cantor a développé un moyen de classer la taille des ensembles infinis en fonction du nombre de ses éléments, ou de sa cardinalité. (Voir la théorie des ensembles: Cardinalité et nombres transfinis.) En ces termes, l'hypothèse du continuum peut être formulée comme suit: La cardinalité du continuum est le plus petit nombre cardinal non dénombrable.
théorie des ensembles: cardinalité et nombres transfinis
une conjecture connue comme l'hypothèse du continuum.
Dans la notation de Cantor, l'hypothèse du continuum peut être énoncée par l'équation simple 2 ℵ 0 = ℵ 1, où ℵ 0 est le nombre cardinal d'un ensemble dénombrable infini (comme l'ensemble des nombres naturels) et les nombres cardinaux des plus grands " ensembles bien ordonnés "sont ℵ 1, ℵ 2,
, ℵ α,
, indexé par les nombres ordinaux. La cardinalité du continuum peut être montrée égale à 2 ℵ 0; ainsi, l'hypothèse du continuum exclut l'existence d'un ensemble de taille intermédiaire entre les nombres naturels et le continuum.
Une hypothèse plus forte est l'hypothèse du continuum généralisé (GCH): 2 ℵ α = ℵ α + 1 pour chaque nombre ordinal α. Le mathématicien polonais Wacław Sierpiński a prouvé qu'avec GCH on peut dériver l'axiome de choix.
Comme pour l'axiome de choix, le mathématicien américain d'origine autrichienne Kurt Gödel a prouvé en 1939 que, si les autres axiomes standard de Zermelo-Fraenkel (ZF; voir le
tableau) sont cohérentes, alors elles ne réfutent pas l'hypothèse du continuum ni même le GCH. Autrement dit, le résultat de l'ajout de GCH aux autres axiomes reste cohérent. Puis, en 1963, le mathématicien américain Paul Cohen a complété le tableau en montrant, toujours sous l'hypothèse que ZF est cohérent, que ZF ne fournit pas de preuve de l'hypothèse du continuum.
Puisque ZF ne prouve ni ne réfute l'hypothèse du continuum, il reste la question d'accepter l'hypothèse du continuum basée sur un concept informel de ce que sont les ensembles. La réponse générale dans la communauté mathématique a été négative: l'hypothèse du continuum est un énoncé limitatif dans un contexte où il n'y a aucune raison connue d'imposer une limite. En théorie des ensembles, l'opération d'ensemble de puissance attribue à chaque ensemble de cardinalité ℵ α son ensemble de tous les sous-ensembles, qui a la cardinalité 2 ℵ α. Il ne semble pas y avoir de raison d'imposer une limite à la variété des sous-ensembles qu'un ensemble infini pourrait avoir.
