Géométrie euclidienne
Si nous considérons la géométrie euclidienne, nous discernons clairement qu'elle fait référence aux lois régissant les positions des corps rigides. Elle rend compte de la pensée ingénieuse de retracer toutes les relations concernant les corps et leurs positions relatives au concept très simple de «distance» (Strecke). La distance désigne un corps rigide sur lequel deux points de matériau (marques) ont été spécifiés. Le concept de l'égalité des distances (et des angles) fait référence à des expériences impliquant des coïncidences; les mêmes remarques s'appliquent aux théorèmes sur la congruence. Or, la géométrie euclidienne, sous la forme sous laquelle elle nous a été transmise par Euclide, utilise les concepts fondamentaux «ligne droite» et «plan» qui ne semblent pas correspondre, ou en tout cas, pas si directement, aux expériences concernant la position des corps rigides. Il faut remarquer à ce propos que le concept de ligne droite peut être réduit à celui de distance.1 De plus, ont été moins préoccupés par géometres à faire ressortir la relation de leurs concepts fondamentaux à l' expérience que par déduisant logiquement les propositions géométriques de quelques axiomes énoncés au début.
Décrivons brièvement comment peut-être la base de la géométrie euclidienne peut être acquise à partir du concept de distance.
On part de l'égalité des distances (axiome de l'égalité des distances). Supposons que sur deux distances inégales, l'une soit toujours supérieure à l'autre. Les mêmes axiomes sont valables pour l'inégalité des distances que pour l'inégalité des nombres.
Trois distances AB 1, BC 1, CA 1 peuvent, si CA 1 est convenablement choisi, avoir leurs marques BB 1, CC 1, AA 1 superposées de telle sorte qu'il en résulte un triangle ABC. La distance CA 1 a une limite supérieure pour laquelle cette construction est encore possible. Les points A, (BB ') et C se situent alors en «ligne droite» (définition). Cela conduit aux concepts: produire une distance d'un montant égal à lui-même; diviser une distance en parties égales; exprimer une distance en termes de nombre au moyen d'une tige de mesure (définition de l'intervalle d'espace entre deux points).
Lorsque le concept de l'intervalle entre deux points ou de la longueur d'une distance a été acquis de cette manière, nous n'avons besoin que de l'axiome suivant (théorème de Pythagore) pour arriver analytiquement à la géométrie euclidienne.
A chaque point de l'espace (corps de référence) trois nombres (coordonnées) x, y, z peuvent être attribués - et inversement - de telle sorte que pour chaque paire de points A (x 1, y 1, z 1) et B (x 2, y 2, z 2) le théorème tient:
numéro de mesure AB = sqroot {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }.
Tous les autres concepts et propositions de la géométrie euclidienne peuvent alors être construits de manière purement logique sur cette base, en particulier également les propositions concernant la droite et le plan.
Ces remarques ne sont bien entendu pas destinées à remplacer la construction strictement axiomatique de la géométrie euclidienne. Nous souhaitons simplement indiquer de manière plausible comment toutes les conceptions de la géométrie peuvent être retracées à celle de la distance. Nous aurions tout aussi bien pu incarner toute la base de la géométrie euclidienne dans le dernier théorème ci-dessus. La relation avec les fondements de l'expérience serait alors fournie au moyen d'un théorème supplémentaire.
La coordonnée peut et doit être choisie de sorte que deux paires de points séparés par des intervalles égaux, tels que calculés à l'aide du théorème de Pythagore, puissent coïncider avec une seule et même distance convenablement choisie (sur un solide).
Les concepts et propositions de la géométrie euclidienne peuvent être dérivés de la proposition de Pythagore sans l'introduction de corps rigides; mais ces concepts et propositions n'auraient alors pas de contenu qui pourrait être testé. Ce ne sont pas de «vraies» propositions mais seulement des propositions logiquement correctes de contenu purement formel.
