Histoire de l'analyse
Les Grecs rencontrent des magnitudes continues
L'analyse comprend les parties des mathématiques dans lesquelles un changement continu est important. Il s'agit notamment de l'étude du mouvement et de la géométrie des courbes et des surfaces lisses, en particulier le calcul des tangentes, des surfaces et des volumes. Les mathématiciens de la Grèce antique ont fait de grands progrès à la fois dans la théorie et la pratique de l'analyse. La théorie leur a été imposée à environ 500 avant JC par la découverte pythagoricienne de magnitudes irrationnelles et à environ 450 avant JC par les paradoxes du mouvement de Zeno.
Les pythagoriciens et les nombres irrationnels
Initialement, les Pythagoriciens croyaient que toutes choses pouvaient être mesurées par les nombres naturels discrets (1, 2, 3,
) et leurs ratios (fractions ordinaires ou nombres rationnels). Cette croyance a cependant été ébranlée par la découverte que la diagonale d'un carré unitaire (c'est-à-dire un carré dont les côtés ont une longueur de 1) ne peut pas être exprimée comme un nombre rationnel. Cette découverte a été provoquée par leur propre théorème de Pythagore, qui a établi que le carré sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés - en notation moderne, c 2 = a 2 + b 2. Dans un carré unitaire, la diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle, avec les côtés a = b = 1; par conséquent, sa mesure est la racine carrée de√2 - un nombre irrationnel. Contre leurs propres intentions, les Pythagoriciens avaient ainsi montré que les nombres rationnels ne suffisaient pas pour mesurer même des objets géométriques simples. (Voir Encadré: Incommensurables.) Leur réaction a été de créer une arithmétique des segments de ligne, comme dans le livre II des éléments d'Euclide (vers 300 avant JC), qui comprenait une interprétation géométrique des nombres rationnels. Pour les Grecs, les segments de ligne étaient plus généraux que les nombres, car ils comprenaient des magnitudes continues et discrètes.
En effet, la racine carrée de√2 ne peut être liée aux nombres rationnels que via un processus infini. Cela a été réalisé par Euclid, qui a étudié l'arithmétique des nombres rationnels et des segments de droite. Son célèbre algorithme euclidien, appliqué à une paire de nombres naturels, conduit en un nombre fini d'étapes à leur plus grand diviseur commun. Cependant, lorsqu'il est appliqué à une paire de segments de ligne avec un rapport irrationnel, tel que la racine carrée de√2 et 1, il ne se termine pas. Euclide a même utilisé cette propriété de non-terminaison comme critère d'irrationalité. Ainsi, l'irrationalité remet en cause le concept grec du nombre en les forçant à faire face à des processus infinis.
Les paradoxes de Zeno et le concept de mouvement
Tout comme la racine carrée de√2 était un défi au concept de nombre des Grecs, les paradoxes de Zeno étaient un défi à leur concept de mouvement. Dans sa physique (vers 350 avant JC), Aristote a cité Zénon comme disant:
Il n'y a pas de mouvement car ce qui est déplacé doit arriver au milieu [du parcours] avant d'arriver à la fin.
Les arguments de Zeno ne sont connus que par Aristote, qui les a principalement cités pour les réfuter. Vraisemblablement, Zeno signifiait que, pour aller n'importe où, il fallait d'abord aller à mi-chemin et avant ce quart de chemin et avant ce huitième de chemin et ainsi de suite. Parce que ce processus de réduction de moitié des distances se poursuivrait à l'infini (un concept que les Grecs n'accepteraient pas comme possible), Zeno prétendait «prouver» que la réalité consiste en un être immuable. Pourtant, malgré leur dégoût de l'infini, les Grecs ont trouvé que le concept était indispensable dans les mathématiques des grandeurs continues. Ils ont donc raisonné sur l'infini le plus finement possible, dans un cadre logique appelé théorie des proportions et utilisant la méthode de l'épuisement.
La théorie des proportions a été créée par Eudoxe environ 350 avant JC et conservée dans le livre V des éléments d'Euclide. Il a établi une relation exacte entre les grandeurs rationnelles et les grandeurs arbitraires en définissant deux grandeurs égales si les grandeurs rationnelles inférieures à elles étaient les mêmes. En d'autres termes, deux grandeurs n'étaient différentes que s'il y avait une grandeur rationnelle strictement entre elles. Cette définition a servi les mathématiciens pendant deux millénaires et a ouvert la voie à l'arithmétisation de l'analyse au XIXe siècle, dans laquelle les nombres arbitraires étaient rigoureusement définis en termes de nombres rationnels. La théorie des proportions a été le premier traitement rigoureux du concept de limites, idée qui est au cœur de l'analyse moderne. En termes modernes, la théorie d'Eudoxus définissait les grandeurs arbitraires comme des limites de grandeurs rationnelles, et les théorèmes de base sur la somme, la différence et le produit des grandeurs étaient équivalents aux théorèmes sur la somme, la différence et le produit des limites.
