Problème de Sturm-Liouville, ou problème de valeurs propres, en mathématiques, une certaine classe d'équations aux dérivées partielles (PDE) soumises à des contraintes supplémentaires, appelées valeurs limites, sur les solutions. De telles équations sont courantes à la fois en physique classique (par exemple, conduction thermique) et en mécanique quantique (par exemple, équation de Schrödinger) pour décrire des processus où une valeur externe (valeur limite) est maintenue constante tandis que le système d'intérêt transmet une certaine forme d'énergie.
Au milieu des années 1830, les mathématiciens français Charles-François Sturm et Joseph Liouville ont travaillé indépendamment sur le problème de la conduction de chaleur à travers une barre métallique, développant ainsi des techniques pour résoudre une grande classe d'EDP, dont les plus simples prennent la forme [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0 où y est une certaine quantité physique (ou la fonction d'onde mécanique quantique) et λ est un paramètre, ou valeur propre, qui contraint l'équation ainsi que y satisfait les valeurs limites aux extrémités de l'intervalle sur lequel la variable x s'étend. Si les fonctions p, q et r satisfont aux conditions appropriées, l'équation aura une famille de solutions, appelées fonctions propres, correspondant aux solutions de valeurs propres.
Pour le cas non homogène plus compliqué dans lequel le côté droit de l'équation ci-dessus est une fonction, f (x), plutôt que zéro, les valeurs propres de l'équation homogène correspondante peuvent être comparées aux valeurs propres de l'équation d'origine. Si ces valeurs sont différentes, le problème aura une solution unique. En revanche, si l'une de ces valeurs propres correspond, le problème n'aura ni solution ni toute une famille de solutions, selon les propriétés de la fonction f (x).
