Logarithme, exposant ou puissance à laquelle une base doit être élevée pour donner un nombre donné. Exprimé mathématiquement, x est le logarithme de n à la base b si b x = n, auquel cas on écrit x = log b n. Par exemple, 2 3 = 8; par conséquent, 3 est le logarithme de 8 à base 2, ou 3 = log 2 8. De la même manière, puisque 10 2 = 100, puis 2 = log 10 100. Logarithmes de ce dernier type (c'est-à-dire, logarithmes avec base 10) sont appelés logarithmes communs, ou Briggsian, et sont écrits simplement log n.
Inventés au 17e siècle pour accélérer les calculs, les logarithmes ont considérablement réduit le temps nécessaire à la multiplication des nombres à plusieurs chiffres. Ils ont été à la base du travail numérique pendant plus de 300 ans, jusqu'à ce que la perfection des machines à calculer mécaniques à la fin du XIXe siècle et des ordinateurs au XXe siècle les rende obsolètes pour les calculs à grande échelle. Le logarithme naturel (avec la base e ≅ 2,71828 et écrit ln n), cependant, continue d'être l'une des fonctions les plus utiles en mathématiques, avec des applications aux modèles mathématiques dans les sciences physiques et biologiques.
Propriétés des logarithmes
Les logarithmes ont été rapidement adoptés par les scientifiques en raison de diverses propriétés utiles qui ont simplifié les calculs longs et fastidieux. En particulier, les scientifiques pourraient trouver le produit de deux nombres m et n en recherchant le logarithme de chaque nombre dans un tableau spécial, en ajoutant les logarithmes ensemble, puis en consultant à nouveau le tableau pour trouver le nombre avec ce logarithme calculé (connu sous le nom d'antilogarithme). Exprimée en termes de logarithmes communs, cette relation est donnée par log mn = log m + log n. Par exemple, 100 × 1 000 peut être calculé en recherchant les logarithmes de 100 (2) et 1 000 (3), en additionnant les logarithmes (5), puis en trouvant son antilogarithme (100 000) dans le tableau. De même, les problèmes de division sont convertis en problèmes de soustraction avec des logarithmes: log m / n = log m - log n. Ce n'est pas tout; le calcul des puissances et des racines peut être simplifié grâce à l'utilisation de logarithmes. Les logarithmes peuvent également être convertis entre toutes les bases positives (sauf que 1 ne peut pas être utilisé comme base car toutes ses puissances sont égales à 1), comme le montre le
tableau des lois logarithmiques.
Seuls les logarithmes pour les nombres compris entre 0 et 10 étaient généralement inclus dans les tableaux de logarithmes. Pour obtenir le logarithme d'un certain nombre en dehors de cette plage, le nombre a d'abord été écrit en notation scientifique comme le produit de ses chiffres significatifs et de sa puissance exponentielle - par exemple, 358 serait écrit en 3,58 × 10 2, et 0,0046 serait écrit comme 4,6 × 10 -3. Ensuite, le logarithme des chiffres significatifs - une fraction décimale entre 0 et 1, connue sous le nom de mantisse - serait trouvé dans un tableau. Par exemple, pour trouver le logarithme de 358, on rechercherait le log 3,58 ≅ 0,55388. Par conséquent, log 358 = log 3,58 + log 100 = 0,55388 + 2 = 2,55388. Dans l'exemple d'un nombre avec un exposant négatif, tel que 0,0046, on rechercherait log 4,6 ≅ 0,66276. Par conséquent, log 0,0046 = log 4,6 + log 0,001 = 0,66276 - 3 = −2,33724.
