Diophantus, surnom Diophantus d'Alexandrie, (florissant c. Ce 250), mathématicien grec, célèbre pour son travail en algèbre.
théorie des nombres: Diophantus
Parmi les mathématiciens grecs ultérieurs, particulièrement remarquable est Diophantus d'Alexandrie (florissant c. 250), auteur
Le peu que l'on sait de la vie de Diophantus est circonstanciel. D'après l'appellation «d'Alexandrie», il semble qu'il ait travaillé dans le principal centre scientifique du monde grec ancien; et parce qu'il n'est pas mentionné avant le IVe siècle, il semble probable qu'il ait prospéré au IIIe siècle. Une épigramme arithmétique de l'Anthologia Graeca de la fin de l'Antiquité, censée retracer certains repères de sa vie (mariage à 33 ans, naissance de son fils à 38 ans, décès de son fils quatre ans avant le sien à 84 ans), pourrait bien être inventée. Deux œuvres nous sont parvenues sous son nom, toutes deux incomplètes. Le premier est un petit fragment sur les nombres polygonaux (un nombre est polygonal si ce même nombre de points peut être disposé sous la forme d'un polygone régulier). Le second, un traité vaste et extrêmement influent sur lequel repose toute la renommée ancienne et moderne de Diophantus, est son Arithmetica. Son importance historique est double: c'est la première œuvre connue à utiliser l'algèbre dans un style moderne, et elle a inspiré la renaissance de la théorie des nombres.
L'Arithmetica commence par une introduction adressée à Dionysius - sans doute Saint-Denys d'Alexandrie. Après quelques généralités sur les nombres, Diophantus explique son symbolisme - il utilise des symboles pour l'inconnu (correspondant à notre x) et ses pouvoirs, positifs ou négatifs, ainsi que pour certaines opérations arithmétiques - la plupart de ces symboles sont clairement des abréviations scribales. Il s'agit de la première et seule occurrence du symbolisme algébrique avant le XVe siècle. Après avoir enseigné la multiplication des pouvoirs de l'inconnu, Diophantus explique la multiplication des termes positifs et négatifs, puis comment réduire une équation à une seule avec des termes positifs (la forme standard préférée dans l'antiquité). Avec ces préliminaires à l'écart, Diophantus procède aux problèmes. En effet, l'Arithmetica est essentiellement un ensemble de problèmes avec des solutions, environ 260 dans la partie encore existante.
L'introduction indique également que le travail est divisé en 13 livres. Six de ces livres étaient connus en Europe à la fin du XVe siècle, transmis en grec par des érudits byzantins et numérotés de I à VI; quatre autres livres ont été découverts en 1968 dans une traduction arabe du IXe siècle par Qusṭā ibn Lūqā. Cependant, le texte arabe manque de symbolisme mathématique, et il semble être basé sur un commentaire grec ultérieur - peut-être celui d'Hypatie (c. 370–415) - qui a dilué l'exposition de Diophantus. Nous savons maintenant que la numérotation des livres grecs doit être modifiée: Arithmetica se compose donc des livres I à III en grec, des livres IV à VII en arabe et, vraisemblablement, des livres VIII à X en grec (les anciens livres grecs IV à VI). Une nouvelle numérotation est peu probable; il est assez certain que les Byzantins ne connaissaient que les six livres qu'ils transmettaient et les Arabes pas plus que les livres I à VII dans la version commentée.
Les problèmes du Livre I ne sont pas caractéristiques, étant principalement des problèmes simples utilisés pour illustrer le calcul algébrique. Les traits distinctifs des problèmes de Diophantus apparaissent dans les derniers livres: ils sont indéterminés (ayant plus d'une solution), sont du deuxième degré ou sont réductibles au deuxième degré (la puissance la plus élevée en termes variables est de 2, c'est-à-dire x 2), et se terminent par la détermination d'une valeur rationnelle positive pour l'inconnu qui fera d'une expression algébrique donnée un carré numérique ou parfois un cube. (Tout au long de son livre, Diophantus utilise «nombre» pour faire référence à ce que l'on appelle maintenant des nombres rationnels positifs; ainsi, un nombre carré est le carré d'un certain nombre rationnel positif.) Les livres II et III enseignent également des méthodes générales. Dans trois problèmes du Livre II, il est expliqué comment représenter: (1) tout nombre carré donné comme la somme des carrés de deux nombres rationnels; (2) tout nombre non carré donné, qui est la somme de deux carrés connus, comme une somme de deux autres carrés; et (3) tout nombre rationnel donné comme la différence de deux carrés. Alors que les premier et troisième problèmes sont énoncés de manière générale, la connaissance supposée d'une solution dans le deuxième problème suggère que tous les nombres rationnels ne sont pas la somme de deux carrés. Diophantus donne plus tard la condition d'un entier: le nombre donné ne doit contenir aucun facteur premier de la forme 4n + 3 élevé à une puissance impaire, où n est un entier non négatif. Ces exemples ont motivé la renaissance de la théorie des nombres. Bien que Diophantus soit généralement satisfait d'obtenir une solution à un problème, il mentionne parfois dans les problèmes qu'il existe un nombre infini de solutions.
Dans les livres IV à VII, Diophantus étend les méthodes de base telles que celles décrites ci-dessus aux problèmes de degrés supérieurs qui peuvent être réduits à une équation binomiale du premier ou du deuxième degré. Les préfaces de ces livres indiquent que leur but est de fournir au lecteur «expérience et compétence». Bien que cette découverte récente n'augmente pas la connaissance des mathématiques de Diophantus, elle modifie l'évaluation de sa capacité pédagogique. Les livres VIII et IX (vraisemblablement les livres grecs IV et V) résolvent des problèmes plus difficiles, même si les méthodes de base restent les mêmes. Par exemple, un problème implique la décomposition d'un entier donné en la somme de deux carrés qui sont arbitrairement proches l'un de l'autre. Un problème similaire implique la décomposition d'un entier donné en la somme de trois carrés; Diophantus y exclut le cas impossible d'entiers de la forme 8n + 7 (encore une fois, n est un entier non négatif). Le livre X (probablement le livre grec VI) traite des triangles rectangles aux côtés rationnels et soumis à diverses autres conditions.
Le contenu des trois livres manquants de l'Arithmetica peut être supposé à partir de l'introduction, où, après avoir dit que la réduction d'un problème devrait «si possible» se conclure par une équation binomiale, Diophantus ajoute qu'il traitera «plus tard» le cas d'une équation trinomiale - une promesse non tenue dans la partie existante.
Bien qu'il disposait d'outils limités algébriques, Diophantus réussit à résoudre une grande variété de problèmes, et l'Arithmetica inspira des mathématiciens arabes tels qu'al-Karajī (vers 980-1030) pour appliquer ses méthodes. L'extension la plus célèbre de l'œuvre de Diophantus fut celle de Pierre de Fermat (1601–65), fondateur de la théorie moderne des nombres. En marge de sa copie d'Arithmetica, Fermat a écrit diverses remarques, proposant de nouvelles solutions, corrections et généralisations des méthodes de Diophantus ainsi que quelques conjectures telles que le dernier théorème de Fermat, qui a occupé les mathématiciens pour les générations à venir. Les équations indéterminées limitées aux solutions intégrales sont devenues connues, bien que de manière inappropriée, sous le nom d'équations diophantiennes.
