Surface algébrique, dans un espace tridimensionnel, une surface dont l'équation est f (x, y, z) = 0, avec f (x, y, z) un polynôme en x, y, z. L'ordre de la surface est le degré de l'équation polynomiale. Si la surface est du premier ordre, c'est un plan. Si la surface est d'ordre deux, elle est appelée surface quadrique. En faisant tourner la surface, son équation peut être mise sous la forme Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dx + Ey + Fz = G.
Si A, B, C ne sont pas tous nuls, l'équation peut généralement être simplifiée à la formax 2 + par 2 + cz 2 = 1. Cette surface est appelée ellipsoïde si a, b et c sont positifs. Si l'un des coefficients est négatif, la surface est un hyperboloïde d'une feuille; si deux des coefficients sont négatifs, la surface est un hyperboloïde de deux feuilles. Un hyperboloïde d'une feuille a un point de selle (un point sur une surface incurvée en forme de selle au niveau duquel les courbures dans deux plans mutuellement perpendiculaires sont de signes opposés, tout comme une selle est courbée vers le haut dans une direction et vers le bas dans une autre).
Si A, B, C sont probablement nuls, des cylindres, des cônes, des plans et des paraboloïdes elliptiques ou hyperboliques peuvent être produits. Des exemples de ces derniers sont z = x 2 + y 2 et z = x 2 -y 2, respectivement. À travers chaque point d'une quadrique, deux lignes droites se trouvent à la surface. Une surface cubique est de l'ordre trois. Il a la propriété que 27 lignes se trouvent dessus, chacune rencontrant 10 autres. En général, une surface d'ordre quatre ou plus ne contient pas de lignes droites.
