Fonction zêta de Riemann, fonction utile en théorie des nombres pour étudier les propriétés des nombres premiers. Écrit comme ζ (x), il a été défini à l'origine comme la série infinie x (x) = 1 + 2 −x + 3 −x + 4 −x + ⋯. Lorsque x = 1, cette série est appelée la série harmonique, qui augmente sans limite, c'est-à-dire que sa somme est infinie. Pour les valeurs de x supérieures à 1, la série converge vers un nombre fini à mesure que des termes successifs sont ajoutés. Si x est inférieur à 1, la somme est à nouveau infinie. La fonction zêta était connue du mathématicien suisse Leonhard Euler en 1737, mais elle a d'abord été étudiée de manière approfondie par le mathématicien allemand Bernhard Riemann.
En 1859, Riemann a publié un article donnant une formule explicite pour le nombre de nombres premiers jusqu'à toute limite préaffectée - une amélioration décisive par rapport à la valeur approximative donnée par le théorème des nombres premiers. Cependant, la formule de Riemann dépendait de la connaissance des valeurs auxquelles une version généralisée de la fonction zêta est égale à zéro. (La fonction zêta de Riemann est définie pour tous les nombres complexes - nombres de la forme x + iy, où i = racine carrée de√ − 1 - sauf pour la ligne x = 1.) Riemann savait que la fonction est égale à zéro pour tous les négatifs même entiers −2, −4, −6,
(soi-disant zéros triviaux), et qu'il a un nombre infini de zéros dans la bande critique de nombres complexes entre les lignes x = 0 et x = 1, et il savait également que tous les zéros non triviaux sont symétriques par rapport à la critique ligne x = une / deux. Riemann a supposé que tous les zéros non triviaux sont sur la ligne critique, une conjecture qui est devenue plus tard connue sous le nom d'hypothèse de Riemann.
En 1900, le mathématicien allemand David Hilbert a qualifié l'hypothèse de Riemann de l'une des questions les plus importantes de toutes les mathématiques, comme l'indique son inclusion dans sa liste influente de 23 problèmes non résolus avec lesquels il a défié les mathématiciens du XXe siècle. En 1915, le mathématicien anglais Godfrey Hardy a prouvé qu'un nombre infini de zéros se produisent sur la ligne critique, et en 1986, les premiers 1 500 000 001 zéros non triviaux se sont tous révélés être sur la ligne critique. Bien que l'hypothèse puisse encore se révéler fausse, les recherches sur ce problème difficile ont enrichi la compréhension des nombres complexes.
