La fonction de Bessel, également appelée fonction cylindre, fait partie d'un ensemble de fonctions mathématiques systématiquement dérivées vers 1817 par l'astronome allemand Friedrich Wilhelm Bessel lors d'une enquête sur les solutions de l'une des équations de mouvement planétaire de Kepler. Des fonctions particulières de l'ensemble avaient été formulées plus tôt par les mathématiciens suisses Daniel Bernoulli, qui ont étudié les oscillations d'une chaîne suspendue par une extrémité, et Leonhard Euler, qui a analysé les vibrations d'une membrane étirée.
Après que Bessel a publié ses résultats, d'autres scientifiques ont découvert que les fonctions apparaissaient dans les descriptions mathématiques de nombreux phénomènes physiques, y compris le flux de chaleur ou d'électricité dans un cylindre solide, la propagation des ondes électromagnétiques le long des fils, la diffraction de la lumière, les mouvements des fluides, et les déformations des corps élastiques. L'un de ces enquêteurs, Lord Rayleigh, a également placé les fonctions de Bessel dans un contexte plus large en montrant qu'elles surviennent dans la solution de l'équation de Laplace (qv) lorsque cette dernière est formulée en coordonnées cylindriques (plutôt que cartésiennes ou sphériques).
Plus précisément, une fonction de Bessel est une solution de l'équation différentielle
qui est appelée l'équation de Bessel. Pour les valeurs intégrales de n, les fonctions de Bessel sont
Le graphique de J 0 (x) ressemble à celui d'une courbe de cosinus amorti, et celui de J 1 (x) ressemble à celui d'une courbe de sinus amorti (voir graphique).
Certains problèmes physiques conduisent à des équations différentielles analogues à l'équation de Bessel; leurs solutions prennent la forme de combinaisons de fonctions de Bessel et sont appelées fonctions de Bessel du deuxième ou troisième type.
