Mathématiques des règles de chaîne

Règle de chaîne, en calcul, méthode de base pour différencier une fonction composite. Si f (x) et g (x) sont deux fonctions, la fonction composite f (g (x)) est calculée pour une valeur de x en évaluant d'abord g (x) puis en évaluant la fonction f à cette valeur de g (x), enchaînant ainsi les résultats ensemble; par exemple, si f (x) = sin x et g (x) = x ², alors f (g (x)) = sin x ², tandis que g (f (x)) = (sin x) ². La règle de chaîne stipule que la dérivée D d'une fonction composite est donnée par un produit, comme D (f (g (x))) = Df (g (x)) ∙ Dg (x). En d'autres termes, le premier facteur à droite, Df (g (x)), indique que la dérivée de f (x) est d'abord trouvée comme d'habitude, puis x, partout où elle se produit, est remplacée par la fonction g (x). Dans l'exemple du péché x ², la règle donne le résultat D (sin x ²) = Dsin (x ²) ∙ D (x ²) = (cos x ²) ∙ 2x.

Dans la notation du mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz, qui utilise d / dx à la place de D et permet ainsi d'expliciter la différenciation en fonction de différentes variables, la règle de chaîne prend la forme la plus mémorable d '«annulation symbolique»: d (f (g (x))) / dx = df / dg ∙ dg / dx.

La règle des chaînes est connue depuis qu'Isaac Newton et Leibniz ont découvert le calcul à la fin du XVIIe siècle. La règle facilite les calculs qui impliquent de trouver les dérivées d'expressions complexes, telles que celles trouvées dans de nombreuses applications physiques.